Archer, who doesn't know how to shoot...

證明費氏數列 f_i = (a_i - b_i)/根號5，其中a_{i = (1+根號5)/2, bi = (1-根號5)/2}

首先，已知 f_n=f_n-1+f_n-2

設f_n=rⁿ，則 f_{n - fn-1 - fn-2} = 0 可轉為rⁿ-r^n-1-r^n-2=0

同除以r^n-2得到 r² - r - 1

r=(1+根號5)/2或(1-根號5)/2

根據以上我們可以知道，f_n=rⁿ=C₁((1+根號5)/2)ⁿ+C₂((1-根號5)/2)ⁿ

當取n=0的時候，C₁((1+根號5)/2)⁰+C₂((1-根號5)/2)⁰ ＝ 0，得到C₁=-C₂

當取n=1的時候，C₁((1+根號5)/2)¹+C₂((1-根號5)/2)¹ ＝ 1，以C₁=-C₂代入後得到

C₁=(((1+根號5)/2)-((1-根號5)/2))=1

C₁=根號5分之一

C₁=-C_{2，所以C2 = - 根號5分之一}

_{然後回到fn=rⁿ=C1((1+根號5)/2)ⁿ+C2((1-根號5)/2)ⁿ}

將結果代回去得到f_n=根號五分之一＊(((1+根號5)/2)ⁿ+ ((1-根號5)/2)ⁿ)

得證。